Question

已知數(shù)列{a_n}滿足2S_n=3a_n-n（n∈N^*）．
（1）求a₁、a₂、a₃的值；
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由2S_n=3a_n-n（n∈N^*）．分別取n=1，2，3可得：2a₁=3a₁-1，2（a₁+a₂）=3a₂-2，2（a₁+a₂+a₃）=3a₃-3，解出即可．
（2）2S_n=3a_n-n（n∈N^*），當(dāng)n≥2時，2S_n-1=3a_n-1-（n-1），相減化為a_n=3a_n-1+1，變形為an+

1

2

=3(an-1+

1

2

)，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（3）

1

an

=

2

3n-1

，當(dāng)n=1，2時，不等式成立；當(dāng)n≥3時，

1

an

=

2

3n-1

＜

1

2n

．再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可證明．

解答： （1）解：∵2S_n=3a_n-n（n∈N^*）．分別取n=1，2，3可得：2a₁=3a₁-1，2（a₁+a₂）=3a₂-2，2（a₁+a₂+a₃）=3a₃-3，
解得a₁=1，a₂=4，a₃=13．
（2）解：∵2S_n=3a_n-n（n∈N^*），當(dāng)n≥2時，2S_n-1=3a_n-1-（n-1），∴2a_n=3a_n-3a_n-1-1，
化為a_n=3a_n-1+1，
變形為an+

1

2

=3(an-1+

1

2

)，
∴數(shù)列{an+

1

2

}是以3為公比，a1+

1

2

=

3

2

為首項的等比數(shù)列，
∴an+

1

2

=

3

2

×3n-1，
可得an=

3n-1

2

．
（3）證明：∵

1

an

=

2

3n-1

，
∴當(dāng)n=1時，

1

a1

=1＜

3

2

，
當(dāng)n=2時，

1

a1

+

1

a2

=1+

1

4

＜

3

2

．
當(dāng)n≥3時，

1

an

=

2

3n-1

＜

1

2n

．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

4

+

1 8 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

=1+

1

4

+

1

4

(1-

1

2n-2

)＜

3

2

．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了“放縮法”證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．