Question

已知圓C的方程為：x²+y²+4y-21=0，直線l的方程為：（2m-1）x-（m+1）y+3m=0，（m∈R）．
（1）若圓C上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為3，求直線l的方程：
（2）求直線l被圓C截得的弦長最短時(shí)m的值及最短弦長．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）若圓C上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為3，則等價(jià)為圓心到直線的距離d=2，根據(jù)圓心到直線的距離公式進(jìn)行求解．
（2）直線l過定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)和圓的關(guān)系，結(jié)合弦長公式即可即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y+2）²=25，則圓心C坐標(biāo)為（0，-2），半徑R=5，
若圓C上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為3，
則等價(jià)為圓心到直線的距離d=5-3=2，
即

|2(m+1)+3m|

(2m-1)2+(m+1)2

=2，
平方整理得5m²+14m-3=0，
解得m=-3或m=

1

5

，
即直線方程為7x-2y+9=0或x+2y-1=0．
（2）由（2m-1）x-（m+1）y+3m=0得m（2x-y+3）-x-y=0，
由

2x-y+3=0 -x-y=0

得

x=-1 y=1

，即直線過定點(diǎn)A（-1，1），
|CA|=

1+9

=

10

＜5，
即A在圓內(nèi)，
則l與圓C永遠(yuǎn)相交，
若直線l被圓C截得的弦長最短時(shí)，滿足CA⊥l，
∵CA的斜率k=

-2-1

1

=-3，
∴l(xiāng)的斜率k=

1

3

，即

2m-1

m+1

=

1

3

，解得m=

4

5

，
此時(shí)最短弦長為2

R2-|CA|2

=2

25-10

=2

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)直線過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握圓心到直線的距離公式以及直線和圓相交的弦長公式．