Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之和是4，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程
（2）設(shè)A，B是曲線C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且OA⊥OB，證明：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已恬得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)AB所在的直線方程為：y=kx+m，代入橢圓方程 3x²+4y²=12，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能證明

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值．

解答： （1）解：∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，
動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之和是4，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
且2a=4，c=1，解得a=2，b=

3

，
∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），B坐標(biāo)為（x₂，y₂）
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
設(shè)AB所在的直線方程為：y=kx+m，代入橢圓方程 3x²+4y²=12
整理得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓上
由韋達(dá)定理可得：
x₁+x₂=-

8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
由x₁x₂+y₁y₂=0，得
x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
即（k²+1）•

4m2-12

4k2+3

-

8k2m2

4k2+3

+m²=0
化簡(jiǎn)得：7m²=12（1+k²）

m2

1+k2

=

12

7

，

|m|

1+k2

=

2 3

7

點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

=

2 3

7

為定值，
直角△AOB中，OA²+OB²=AB²，S_△AOB=

1

2

（OA×OB）=

1

2

（AB×d），
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

|OA|2+|OB|2

|OA|2•|OB|2

=

|AB|2

(|AB|×d)2

=

1

d2

=

7

12

，
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓定義、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．