Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：－y＋3＋＝0和圓：＋＋8x＋F＝0．若直線l被圓截得的弦長(zhǎng)為．

（1）求圓的方程；

（2）設(shè)圓和x軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB交y軸于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（3）若△RST的頂點(diǎn)R在直線x＝－1上，點(diǎn)S，T在圓上，且直線RS過(guò)圓心，∠SRT＝，求點(diǎn)R的縱坐標(biāo)的范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）圓經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)；（3）

【解析】

（1）根據(jù)垂徑定理列方程解得F，即得結(jié)果；

（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，表示出M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量寫(xiě)出以MN為直徑的圓，再根據(jù)方程確定其定點(diǎn)；

（3）根據(jù)到距離不大于半徑，確定范圍，進(jìn)而可得點(diǎn)R的縱坐標(biāo)的范圍.

（1）

所以圓的方程為；

（2）和x軸相交于,不妨設(shè)

設(shè)，則，所以,

因此以MN為直徑的圓為

從而

因?yàn)楫?dāng)時(shí)

因此圓過(guò)定點(diǎn)，而在圓內(nèi)，

所以圓經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)；

（3）設(shè)到距離為，則

設(shè)，則

所以點(diǎn)R的縱坐標(biāo)的范圍為.