Question

已知直角△ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SA=SB=SC，D為斜邊AC中點(diǎn)．
（1）求證：SD⊥平面ABC；
（2）若AB=BC，求證：BD⊥平面SAC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)SE，DE，由已知條件得△SAB為等腰三角形，從而得到SE⊥AB，進(jìn)而得到AB⊥平面SDE由此能證明SD⊥平面ABC．
（2）法一：由已知條件得BD⊥AC，由（1）知，SD⊥面ABC，從而得到SD⊥BD，由此能證明BD⊥面SAC．
法二：由已知條件得BD⊥AC．由（1）知SD⊥平面ABC，從而得到平面ABC⊥平面SAC，由此能證明BD⊥平面SAC．

解答： 證明：（1）如圖，取AB中點(diǎn)E，連結(jié)SE，DE，
在Rt△ABC中，D，E分別為AC、AB的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，且DE⊥AB，
∵SA=SB，∴△SAB為等腰三角形，
∴SE⊥AB，又SE∩DE=E，
∴AB⊥平面SDE，∵SD?面SDE，∴AB⊥SD，
在△SAC中，∵SA=SC，D為AC中點(diǎn)，
∴SD⊥AC，
∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB=A，
∴SD⊥平面ABC．
（2）證法一：∵AB=BC，D為斜邊AC中點(diǎn)，∴BD⊥AC，
由（1）可知，SD⊥面ABC，
而BD?面ABC，∴SD⊥BD，
∵SD⊥BD、BD⊥AC，SD∩AC=D，
∴BD⊥面SAC．
（2）證法二：∵AB=BC，D為斜邊AC中點(diǎn)，∴BD⊥AC．
由（1）知SD⊥平面ABC，又SD?平面SAC，
∴平面ABC⊥平面SAC，
又平面ABC∩平面SAC=AC．
∴BD⊥平面SAC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．