Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，且AC⊥AB，且O，E分別為BC，AB的中點，H是SB的中點．
已知∠ABC=45°，AB=2，PA=PB=PC=

3

．
（1）求證：AB⊥PO；
（2）求三棱錐P-ACD的體積；
（3）求CH與平面POE所成角的正切值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）運用直線與平面垂直的定義，判定定理求解證明．（2）根據(jù)體積公式求解V=

1

3

×PO×S△ACD，
（3）根據(jù)位置關(guān)系求解出∠SOF即所求的線面角，在△SOF中求解即可．

解答： （1）證明：在△ABC中，
因為O，E分別是BC，AB的中點，
所以O(shè)E∥AC，
又因為AC⊥AB，所以O(shè)E⊥AB．
在△PAB中，
因為PA=PB，且點E是AB中點，
所以PE⊥AB，
又因為OE∩PE=E，
所以AB⊥平面POE，
又因為PO?平面POE，
所以AB⊥PO；
（2）解：因為在PCB中PC=PB，且O是BC中點，
所以PO⊥BC，
又因為AB⊥PO，BC∩AB=B，
所以PO⊥平面ABCD，
所以三棱錐P-ACD的高為PO，
V=

1

3

×PO×S△ACD=

1

3

×1×

1

2

×2×2=

2

3

；
（3）解：取HB中點F連接OF，
因為CH平行于OF所以O(shè)F與平面所成的角即CH與平面所成的角，
過F作FS平行于EB交PE于S點，
因為AB⊥平面POE，
又因為AB?平面PAB，
所以平面POE⊥平面PAB，
因為EB⊥PE又因為SF∥EB，
所以SF⊥平面OPE，
所以∠SOF即所求的線面角，在△SOF中 OS=

10

4

SF=

3

4

，
tan∠SOF=

3 10

10

．

點評：本題考察了空間呢直線平面的位置關(guān)系，體積面積，夾角等問題，屬于中檔題．