Question

某學(xué)校高三（1）班學(xué)生舉行新年聯(lián)歡活動(dòng)；準(zhǔn)備了10張獎(jiǎng)券，其中一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券有2張，二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券有3張，其余獎(jiǎng)券均為3等獎(jiǎng)．
（Ⅰ）求從中任意抽取2張，均得到一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率；
（Ⅱ）從中任意抽取3張，至多有1張一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率；
（Ⅲ）從中任意抽取3張，得到二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）準(zhǔn)備了10張獎(jiǎng)券，從中任意抽取2張，基本事件總數(shù)n=

C

2 10

=45，均得到一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券包含的基本事件個(gè)數(shù)m₁=

C

2 2

=1，由此利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出從中任意抽取2張，均得到一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率．
（Ⅱ）從中任意抽取3張，至多有1張一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的情況有兩種：沒(méi)有一等獎(jiǎng)或恰有1張一等獎(jiǎng)，由此利用互斥事件概率計(jì)算公式能求出至多有1張一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率．
（Ⅲ）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）準(zhǔn)備了10張獎(jiǎng)券，從中任意抽取2張，基本事件總數(shù)n=

C

2 10

=45，
均得到一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券包含的基本事件個(gè)數(shù)m₁=

C

2 2

=1，
∴從中任意抽取2張，均得到一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率：P₁=

m1

n

=

1

45

．
（Ⅱ）從中任意抽取3張，至多有1張一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的情況有兩種：
沒(méi)有一等獎(jiǎng)或恰有1張一等獎(jiǎng)，
∴至多有1張一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率P₂=

C 3 8

C 3 10

+

C 1 2 C 2 8

C 3 10

=

14

15

．
（Ⅲ）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 3 7

C 3 10

=

7

24

，
P（ξ=1）=

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

21

40

，
P（ξ=2）=

C 2 3 C 1 7

C 3 10

=

7

40

，
P（ξ=3）=

C 3 3

C 3 10

=

1

120

，
∴Eξ=0×

7

24

+1×

21

40

+2×

7

40

+3×

1

120

=

9

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要注意等可能事件概率計(jì)算公式、互斥事件概率計(jì)算公式、排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．