Question

已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)，），．

⑴若，且函數(shù)的值域?yàn)?sub>，求的表達(dá)式；

⑵設(shè)，且函數(shù)為偶函數(shù)，判斷是否大0？

⑶設(shè)，當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，

  (其中是的導(dǎo)函數(shù)) ．

Answer 1

因?yàn)?sub>，所以，

因?yàn)?sub>的值域?yàn)?sub>，所以，                     ……3分

所以，所以，

所以；                                       ……5分

⑵因?yàn)?sub>是偶函數(shù)，所以，

又，所以，                              ……8分

    因?yàn)?sub>，不妨設(shè)，則，又，所以，

    此時(shí)，

所以；                                              ……10分

  ⑶因?yàn)?sub>，所以，又，則，

     因?yàn)?sub>，所以

     則原不等式證明等價(jià)于證明“對(duì)任意實(shí)數(shù)， ” ，

     即 .                                   ……12分

     先研究 ，再研究.

 ① 記，，令，得，

        當(dāng)，時(shí)，單增；當(dāng)，時(shí)，單減 .

        所以，，即.

     ② 記，，所以在,單減，

所以，，即.

      綜上①、②知，.

      即原不等式得證，對(duì)任意實(shí)數(shù)，           ……16分