Question

如圖1，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，且該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）是圖如圖2所示．
（1）證明：BC⊥平面PBD；
（2）證明：AM∥平面PBC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用俯視圖和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥PD，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）取PC上一點(diǎn)Q，使PQ：PC=1：4，連接MQ，BQ．利用左視圖和平行線分線段成比例的判定和性質(zhì)即可得出MQ∥CD，MQ=

1

4

CD．再利用平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得出AM∥BQ，利用線面平行的判定定理即可證明．

解答： 證明：（1）由俯視圖可得，BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD．
又∵PD⊥平面ABCD，
∴BC⊥PD，
∵BD∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（2）取PC上一點(diǎn)Q，使PQ：PC=1：4，連接MQ，BQ．

由左視圖知 PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，MQ=

1

4

CD
在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．
又 BD=2，∴AB=1，AD=

3

．
又∵AB∥CD，AB=

1

4

CD，
∴AB∥MQ，AB=MQ．
∴四邊形ABQM為平行四邊形，
∴AM∥BQ．
∵AM?平面PBC，BQ?平面PBC，
∴直線AM∥平面PBC．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握由三視圖得到線面位置關(guān)系和數(shù)據(jù)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定和性質(zhì)定理、平行線分線段成比例的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．