在如圖所示的幾何體中，平面，∥， 是的中點(diǎn)，，．
（1）證明：∥平面；
（2）求二面角的大小的余弦值．

（1）詳見(jiàn)解析；（2）

解析試題分析：（1）要證明直線和平面平行，只需證明直線和平面內(nèi)的一條直線平行，取中點(diǎn)，連接，則，且，由已知得，且，故，則四邊形是平行四邊形，可證明，進(jìn)而證明∥平面，或可通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證明直線的方向向量垂直于平面的法向量即可；（2）先求半平面和的法向量的夾角的余弦值，再觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，來(lái)決定二面角的大小的余弦值的正負(fù)，從而求解．
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/d6/d/1cgy73.png" style="vertical-align:middle;" />，∥，所以平面．
故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，
， ． 
所以，
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/c8/c/knvfk1.png" style="vertical-align:middle;" />的一個(gè)法向量為，
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/b7/6/sbgdb4.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面．   6分
（2）由（1）知，，，．
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由 得
，取，得，則
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得
，取，則，則
設(shè)二面角的大小為，則，故二面角的大小的余弦值為．
考點(diǎn)：1、直線和平面平行的判斷；2、二面角的求法.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2，M為AD的中點(diǎn)．

(1)證明：MF⊥BD；
(2)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求AB的長(zhǎng)．

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如圖，四邊形是正方形，平面，，，，，分別為，，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，,，
平面平面,若，，,，且．

（1）求證：平面； 
（2）設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，求的值．

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已知棱長(zhǎng)為1的正方體AC1，E、F分別是B1C1、C1D的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A1到平面的BDEF的距離；
（2）求直線A1D與平面BDEF所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（2013•湖北）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)．
（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）設(shè)（1）中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且點(diǎn)Q滿足．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E﹣l﹣C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD．已知ABC=45o，AB=2，BC=2，SA=SB=．

(1)證明：SABC；
(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在四棱錐中,側(cè)面底面,,底面是直角梯形,,,,．

（1）求證:平面;
（2）設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，，試確定的值,使得二面角為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

已知向量與向量平行,則__

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