已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的極值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)
圖像上的點(diǎn)都在
所表示的平面區(qū)域內(nèi),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)
取得極大值
;(2)
;(3)
.
【解析】
試題分析:(1)將代入函數(shù)解析式,直接利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間,從而可確定函數(shù)
的極值;(2)將條件“
在區(qū)間
上為減函數(shù)”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“不等式
在區(qū)間
上恒成立”,結(jié)合參數(shù)分離法進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為
,從中根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出
在
上的最小值即可解決本小問;(3)因函數(shù)
圖像上的點(diǎn)都在
所表示的平面區(qū)域內(nèi),則當(dāng)
時(shí),不等式
恒成立,即
恒成立,設(shè)
(
),只需
即可,轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.
試題解析:(1)當(dāng)時(shí),
由,由
故當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞增;當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞減
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)
取得極大值
4分
(2),∵函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減
∴在區(qū)間
上恒成立,即
在
上恒成立,只需
不大于
在
上的最小值即可 6分
而,則當(dāng)
時(shí),
∴,即
,故實(shí)數(shù)
的取值范圍是
. 8分
(3)因圖像上的點(diǎn)在
所表示的平面區(qū)域內(nèi),即當(dāng)
時(shí),不等式
恒成立,即
恒成立,設(shè)
(
),只需
即可.
由,
(�。┊�(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
,函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,故
成立. 9分
(ⅱ)當(dāng)時(shí),由
,令
,得
或
,
①若,即
時(shí),在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,函數(shù)
在
上無最大值,不滿足條件;
②若,即
時(shí),函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,在區(qū)間
上單調(diào)遞增,同樣
在
上無最大值,不滿足條件. 11分
(ⅲ)當(dāng)時(shí),由
,因
,故
,則函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,故
成立.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是
. 12分
考點(diǎn):1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù);2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù);3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù);4.分離參數(shù)法;5.分類討論的思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省高二實(shí)驗(yàn)班上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍,則實(shí)數(shù)
的值是( )
(A) (B)
(C)
(D)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省高三上學(xué)期第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若實(shí)數(shù)滿足
,且
=0,則稱a與b互補(bǔ).記φ(a,b)=
-a-b,那么φ(a,b)=0是a與b互補(bǔ)的( �。�
A.必要而不充分的條件 B.充分而不必要的條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要的條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省高二下學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動,每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一,每項(xiàng)工作至少有一人參加.甲、乙、丙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作,丁、戊都能勝四項(xiàng)工作,則不同安排方案的種數(shù)是( )
A.240 B.126 C.78 D.72
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省高二下學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù)的最大值是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省高二下學(xué)期第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
對于實(shí)數(shù)和
,定義運(yùn)算“
”:
,設(shè)
,且關(guān)于
的方程為
恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根
,則
的取值范圍是___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省高二下學(xué)期第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)則
是
成立的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省唐山市高三年級摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
在△ABC中,,點(diǎn)D在邊BC上,
,
,
,則AC+BC=_________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
由下列各個(gè)不等式:
你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式?并加以證明.
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