Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負情況，得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）構(gòu)造函數(shù) ，求得導(dǎo)數(shù)，對分成三類，結(jié)合的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)列不等式，解不等式求得的取值范圍.

解：（1） ，

令，解得，

當，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（2）令 ，根據(jù)題意，

當時，恒成立.

.

①當，時，恒成立，

所以在上是增函數(shù)，且，所以不符合題意；

②當，時，恒成立，

所以在上是增函數(shù)，且，所以不符合題意；

③當時，因為，所以恒有，故在上是減函數(shù)，于是“對任意都成立”的充要條件是，

即，解得，故.

綜上，的取值范圍是.