Question

【題目】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，若直線AB與a成角為60，則AB與b成角為

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】分析：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長(zhǎng)為1的正方體，|AC|=1，|AB|=，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．

詳解：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫(huà)出圖形如圖，

不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，故|AC|=1，|AB|=，

斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，

B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量=（0，1，0），||=1，

直線b的方向單位向量=（1，0，0），||=1，

設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)B′（cosθ，sinθ，0），

其中θ為B′C與CD的夾角，θ∈[0，2π），

∴AB′在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，=（cosθ，sinθ，﹣1），||=，

與所成夾角為β∈[0，]，

cosβ=，

當(dāng)與夾角為60°時(shí)，即，

|sinθ|=，

∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ=|cosθ|=，

∵β∈[0，]，∴β=，此時(shí)AB與b成角為60°．

故答案為：A