Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

2

)=1若對(duì)于x₁、x₂∈（0，+∞），都有 

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0．
（1）求f（1），f（2）；
（2）解不等式f（-x）+f（2-x）≥-3．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1，可求f（1）；令x=2，y=

1

2

，可求f（2）．
（2）先令x=y=2，求出f（4），再求出f（8）=-3，將原不等式化為f（-x）+f（2-x）≥f（8），再由條件得到函數(shù)的單調(diào)性，注意定義域，得到不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）由f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
∴f（1×1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0，
又令x=2，y=

1

2

，
∴f（1）=f（2）+f（

1

2

），
∴f（2）=-1；
（2）∵f（2×2）=f（2）+f（2），
∴f（4）=2f（2）=-2，
∵f（2×4）=f（2）+f（4），
∴f（8）=-1-2=-3，
∵x₁、x₂∈（0，+∞）時(shí)，都有

x1-x2

f(x1)-f(x2)

＜0．
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
∵f（-x）+f（2-x）≥-3．
∴f（x（x-2））≥f（8）
∴

-x＞0 2-x＞0 x(x-2)≤8

，
∴-2≤x＜0，
∴原不等式的解集為[-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用，注意函數(shù)的定義域，同時(shí)考查抽象函數(shù)值的求法：賦值法，屬于中檔題．