【題目】已知函數(shù).

（1）若對任意，恒成立，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：.

【答案】（1），（2）證明見解析

【解析】

（1）對任意，恒成立，可變形為，因此只要求得的最大值即可，這可由導數(shù)的知識求解；

（2）首先利用導數(shù)研究的單調(diào)性，確定零點分布，不妨設，得，然后用分析法轉(zhuǎn)化所要證不等式為，由，這時以退為進，證明，即證，現(xiàn)在可構(gòu)造函數(shù)，.證明，這又可用導數(shù)證明．

（1）解：由對任意恒成立，得對任意恒成立.

令，則.

令，則.

在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.

故，

則，即的取值范圍為.

（2）證明：設，，則.

在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.

∵，，當時，，且，

∴，.

要證，即證.

∵，，在上單調(diào)遞減，

∴只需證明.

由，只需證明.

令，.

，

∵，∴，，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，

即，∴.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】已知某校中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖所示.為了解該校中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方式從中抽取一個容量為50的樣本進行調(diào)查.

（1）求樣本中高中生、初中生及小學生的人數(shù)；

（2）從該校初中生和高中生中各隨機抽取1名學生，用頻率估計概率，求恰有1名學生近視的概率；

（3）假設高中生樣本中恰有5名近視學生，從高中生樣本中隨機抽取2名學生，用表示2名學生中近視的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.

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【題目】已知圓:和定點,是圓上任意一點,線段的垂直平分線交于點,設動點的軌跡為.

(1)求的方程;

(2)過點作直線與曲線相交于,兩點(,不在軸上),試問:在軸上是否存在定點,總有?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

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【題目】為了解運動健身減肥的效果，某健身房調(diào)查了20名肥胖者，健身之前他們的體重情況如三維餅圖（1）所示，經(jīng)過四個月的健身后，他們的體重情況如三維餅圖（2）所示．對比健身前后，關(guān)于這20名肥胖者，下面結(jié)論不正確的是（ ）

A.他們健身后，體重在區(qū)間[90kg，100kg）內(nèi)的人數(shù)不變

B.他們健身后，體重在區(qū)間[100kg，110kg）內(nèi)的人數(shù)減少了4人

C.他們健身后，這20位健身者體重的中位數(shù)位于[90kg，100kg）

D.他們健身后，原來體重在[110kg，120kg]內(nèi)的肥胖者體重都至少減輕了10kg

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．證明：

（1）存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0；

（2）存在唯一x1∈（1，2），使g(x1)＝0，且對(1)中的x0，有x0＋x1<2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設，若函數(shù)有4個不同的零點，且，則的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）恒成立的實數(shù)的最大值；

（2）設，，且滿足，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值；

（2）已知關(guān)于的不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于和兩點.

（1）當時，求直線的方程；

（2）若過點且垂直于直線的直線與拋物線交于兩點，記與的面積分別為，求的最小值.

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