Question

1．設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O、所成的角為60°的直線A₁B₁和A${2}_{\;}^{\;}$B₂，使|A₁B₁|=|A${2}_{\;}^{\;}$B₂|，其中A₁、B₁和A₂、B₂分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2]$．

Answer 1

分析 先設(shè)出雙曲線的方程，并根據(jù)題意畫出圖象，根據(jù)對(duì)稱性和條件判斷出雙曲線的漸近線斜率的范圍，列出不等式并轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的不等式，再求解即可．

解答 解：不妨設(shè)雙曲線的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由|A₁B₁|=|A₂B₂|及雙曲線的對(duì)稱性知A₁，A₂，B₁，B₂關(guān)于x軸對(duì)稱，如圖，
又∵滿足條件的直線只有一對(duì)，
當(dāng)直線與x軸夾角為30°時(shí)，雙曲線的漸近線與x軸夾角大于30°，
雙曲線與直線才能有交點(diǎn)A₁，A₂，B₁，B₂，
若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于30°，則無交點(diǎn)，
且不可能存在|A₁B₁|=|A₂B₂|，
當(dāng)直線與x軸夾角為60°時(shí)，雙曲線漸近線與x軸夾角小于60°，
雙曲線與直線有一對(duì)交點(diǎn)A₁，A₂，B₁，B₂，
若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于60°，也滿足題中有一對(duì)直線，
但是如果大于60°，則有兩對(duì)直線．不符合題意，
∴tan30°＜$\frac{a}$≤tan60°，則$\frac{1}{3}＜\frac{^{2}}{{a}^{2}}≤3$，
∵b²=c²-a²，∴$\frac{1}{3}＜\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}≤3$，
解得e∈$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2]$．
故答案為$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，屬于中檔題．