Question

若二項(xiàng)式（ax-

1

x

）ⁿ的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128，展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和也為128，則展開式中

1

x3

的系數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：利用賦值法求出展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和、展開式中各項(xiàng)系數(shù)和，列出方程解出n，a；利用展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為-3得展開式中

1

x3

的系數(shù)．

解答： 解：在（ax-

1

x

）ⁿ的展開式中，令x=1得展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為2ⁿ
∵（ax-

1

x

）ⁿ的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128，展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128
∴2ⁿ=128，（a-1）ⁿ=128
∴n=7，a=3
∴（ax-

1

x

）ⁿ=（3x-

1

x

）⁷的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C₇^r（3x）^7-r（-x^-1）^r=（-1）^rC₇^r•3^7-rx^7-2r
令7-2r=-3得r=5
故展開式中

1

x3

的系數(shù)是=-1）⁵C₇⁵•3²=-189
故答案為：-189．

點(diǎn)評：本題考查利用賦值法求展開式的各項(xiàng)系數(shù)和；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．