Question

設(shè){a_n}是遞增等差數(shù)列，其前n項和為S_n，已知a₁=1，且S₂，a₄+1，S₄成等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足a_n=2log₃b_n-1（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）令C_n=

an

bn

（n∈N₊），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，由于S₂，a₄+1，S₄成等比數(shù)列，可得(a4+1)2=S₂S₄，利用等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，
∵S₂，a₄+1，S₄成等比數(shù)列，
∴(a4+1)2=S₂S₄，
∴(a1+3d+1)2=(2a1+d)(4a1+

4×3

2

d)，
即（2+3d）²=（2+d）（4+6d），
解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵a_n=2log₃b_n-1（n∈N₊）．
∴2n-1=2log₃b_n-1．
∴b_n=3ⁿ．
（2）cn=

an

bn

=

2n-1

3n

．
∴T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

，
∴

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

2 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

1

3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
∴T_n=1-

n+1

3n

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、對數(shù)的運算性質(zhì)、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．