Question

以原點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓的方程分別為x²+y²=4和x²+y²=1，過(guò)原點(diǎn)O的射線交大圓于點(diǎn)P，交小圓于點(diǎn)Q，作PM⊥x軸于M，若

PN

=λ

PM

，

QN

•

PM

=0．
（1）求點(diǎn)N的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A（-3，0）的直線l與（1）中的點(diǎn)N的軌跡交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)B（1，0），求

BE

•

BF

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)P（2cosa，2sina），Q（cosa，sina）；則由題意可得N（2cosa，sina），從而求點(diǎn)N的軌跡方程；
（2）聯(lián)立方程

x2 4 +y2=1 y=k(x+3)

，從而可得（4k²+1）x²+24k²x+36k²-4=0，由△＞0解得k²＜

1

5

；再利用韋達(dá)定理可得x₁+x₂=

24k2

4k2+1

，x₁x₂=

36k2-1

4k2+1

；從而化簡(jiǎn)

BE

•

BF

=x₁x₂-（x₁+x₂）+y₁y₂即可得到取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)P（2cosa，2sina），Q（cosa，sina）；
由

PN

=λ

PM

知N在PM上，由

QN

•

PM

=0知QN⊥PM；
∴N（2cosa，sina），
故點(diǎn)N的軌跡方程為

x2

4

+y²=1；
（2）由題意可知，斜率顯然存在，
聯(lián)立方程

x2 4 +y2=1 y=k(x+3)

，
即（4k²+1）x²+24k²x+36k²-4=0，
由△＞0解得，k²＜

1

5

；
x₁+x₂=

24k2

4k2+1

，x₁x₂=

36k2-1

4k2+1

；
故

BE

•

BF

=x₁x₂-（x₁+x₂）+y₁y₂
=x₁x₂-（x₁+x₂）+k²[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]
=

4(k2+1)(9k2-1)+(3k2-1)(-24k2)

4k2+1

+9k²+1
=

69

4

（1-

27

92(k2+ 1 4 )

），
∵0≤k²＜

1

5

，
∴

BE

•

BF

∈[-3，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓，與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)考查了平面向量的應(yīng)用及志韋達(dá)定理等，屬于中檔題．