Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，E為PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EO∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：AC⊥PB．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）通過(guò)三角形中位線的性質(zhì)可得OE∥PD，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理可以證明出EO∥平面PAD；
（2）先分別證明出AC⊥BD，PD⊥AC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證明出AC⊥平面PBD，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：（1）因?yàn)?nbsp;底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，
所以 O為BD的中點(diǎn)．
又 E為PB的中點(diǎn)，
所以 EO∥PD．
因?yàn)?nbsp;EO?平面PAD，PD?平面PAD，
所以 EO∥平面PAD．
（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又 PD∩BD=D，
所以 AC⊥平面PBD．
所以 AC⊥⊥PB．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)線面平行，線面垂直判定定理的記憶．