Question

4．已知點A（1，$\sqrt{2}$）在橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，若斜率為$\sqrt{2}$的直線l與橢圓E交于B，C兩點，當△ABC的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 由題意可知：設直線l的方程為y=$\sqrt{2}$x+m，代入橢圓方程，由△＞0，求得0≤m²＜8，根據(jù)韋達定理及弦長公式求得丨BC丨，由點到直線的距離公式點A到l的距離為d，再利用三角形的面積公式求得S_△ABC=$\frac{1}{2}$•丨BC丨•d，利用基本不等式的性質即可求得△ABC的面積最大值時，m的取值，即可求得直線l的方程．

解答 解：設直線l的方程為y=$\sqrt{2}$x+m，設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得4x²+2$\sqrt{2}$mx+m²-4=0，---------------（2分）
則△=8m²-16（m²-4）=8（8-m²）＞0，解得：0≤m²＜8，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{4}$，
由弦長公式可知：丨BC丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}\sqrt{16-2{m}^{2}}}{2}$，----（6分）
又點A到l的距離為d=$\frac{丨\sqrt{2}×1-\sqrt{2}+m丨}{\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}}$=$\frac{丨m丨}{\sqrt{3}}$，-------------（8分）
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$•丨BC丨•d=$\frac{\sqrt{{m}^{2}（16-2{m}^{2}）}}{4}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$•$\frac{\sqrt{{m}^{2}（8-{m}^{2}）}}{2}$≤$\frac{1}{\sqrt{2}}$•$\frac{\sqrt{（\frac{{m}^{2}+8-{m}^{2}}{2}）^{2}}}{2}$=$\sqrt{2}$，------（10分）
當且僅當 m²=8-m²，即m=±2時取等號，此時滿足0≤m²＜8，
故直線l的方程為y=$\sqrt{2}$x±2．------------------（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，點到直線的距離公式，三角形的面積公式及基本不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．