Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

3

2

．它有一個頂點恰好是拋物線x²=4y的焦點．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|QP|=|PC|．
（Ⅰ）求動點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左右頂點分別為A，B，直線AC（C點不同于A，B）與直線x=2交于點R，D為線段RB的中點．試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意b=1，e=

3

2

，a=2，可求出橢圓的方程；設(shè)C（x，y）、P（x₀，y₀），可得x₀=x且y₀=

1

2

y，結(jié)合點P（x₀，y₀）在橢圓上代入化簡得到x²+y²=4，即為動點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)C（m，n）、R（2，t），根據(jù)三點共線得到4n=t（m+2），得R的坐標(biāo)進(jìn)而得到D（2，

2n

m+2

）．由CD斜率和點C在圓x²+y²=4上，解出直線CD方程為mx+ny-4=0，最后用點到直線的距離公式即可算出直線CD與圓x²+y²=4相切，即CD與曲線E相切．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，可得b=1，e=

3

2

，∴a=2，因此，橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．-----------------（4分）
設(shè)C（x，y），P（x₀，y₀），由題意x₀=x，y₀=

1

2

y，-----------------（6分）
代入

x2

4

+y2=1，即x²+y²=4．
即動點C的軌跡E的方程為x²+y²=4．-----------------（8分）
（Ⅱ）設(shè)C（m，n），點R的坐標(biāo)為（2，t），
∵A、C、R三點共線，∴

AC

∥

AR

，
而

AC

=（m+2，n），

AR

=（4，t），則4n=t（m+2），
∴t=

4n

m+2

，可得點R的坐標(biāo)為（2，

4n

m+2

），點D的坐標(biāo)為（2，

2n

m+2

），-----------------（10分）
∴直線CD的斜率為k=

mn

m2-4

，
而m²+n²=4，∴-n²=m²-4，代入上式可得k=-

m

n

，-----------------（12分）
∴直線CD的方程為y-n=-

m

n

（x-m），化簡得mx+ny-4=0，
∴圓心O到直線CD的距離d=

4

m2+n2

=2=r，
因此，直線CD與圓O相切，即CD與曲線E相切，-----------------（14分）

點評：本題給出橢圓及其上的動點，求橢圓的方程并用此探索直線CD與曲線E的位置關(guān)系，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系和軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．