Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為實常數(shù)）．
（1）若a=-2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）當a≥-2時，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）將a=-2代入，然后求出導函數(shù)f'（x），利用x∈（1，+∞），f′（x）＞0，可得結(jié)論；
（2）先求出導函數(shù)f'（x），然后討論a研究函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最小的一個就是最小值；
（3）當x∈[1，e]時，f（x）≤a+2可化為a≥

x2-2x

x-lnx

，求出右邊的最小值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： （1）證明：當a=-2時，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=

2(x+1)(x-1)

x

．
∴當x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；------------（3分）
（2）解：f′（x）=

2x2+a

x

（x＞0），當x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非負（僅當a=-2，x=1時，f'（x）=0），
故函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，此時[f（x）]_min=f（1）=1；-------（7分）
（3）解：當x∈[1，e]時，f（x）≤a+2可化為a≥

x2-2x

x-lnx

，
令g（x）=

x2-2x

x-lnx

，則g′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

∵x∈[1，e]，∴g′（x）≥0
∴g（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴g（x）的最小值為g（1）=-1，
∴a的取值范圍是[-1，+∞）．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．