Question

以F₁（-1，0）和F₂（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓C過點(diǎn)A（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，過點(diǎn)A作橢圓C的兩條傾斜角互補(bǔ)的動弦AE，AF，求直線EF的斜率；
（Ⅲ）求△OEF面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意，根據(jù)橢圓的定義，求出a，利用c=1，求出b，由此能夠求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AE方程為：y=k（x-1）+

3

2

代入橢圓方程，求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，即可求直線EF的斜率；
（Ⅲ）設(shè)直線EF的方程，代入橢圓方程，求出△OEF面積，利用基本不等式求△OEF面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，2a=

4+ 9 4

+

3

2

=4，∴a=2，
∵c=1，
∴b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)直線AE方程為：y=k（x-1）+

3

2

，
代入橢圓方程得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+（3-2k）²-12=0
設(shè)E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F），
∵A（1，

3

2

）在橢圓上，
∴x_E=

4k2-12k-3

4k2+3

．
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，
在上式中以-k代k，可得x_F=

4k2+12k-3

4k2+3

∴直線EF的斜率為k•

8k2-6-2(4k2+3)

-24k

=

1

2

即直線EF的斜率為定值，其值為

1

2

．
（Ⅲ）設(shè)直線EF：x-2y+c=0，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
直線EF：x-2y+c=0代入橢圓方程可得16y²-12cy+3（c²-4）=0，
由△＞0可得-4＜c＜4，
∵|EF|=

5

|y₁-y₂|=

15(16-c2)

4

，O到直線EF的距離d=

|c|

5

，
∴△OEF面積為

1

2

|EF|d=

3

8

•

(16-c2)c2

≤

3

8

•

16

2

=

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)c=-2

2

時，△OEF面積的最大值為

3

．

點(diǎn)評：此題考查了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓位置關(guān)系，屬于常規(guī)題，解題時認(rèn)真分析，找準(zhǔn)突破口，