Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，其焦距為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）設A、B、M是橢圓上的三點（異于橢圓頂點），且存在銳角θ，使

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

．
①試求直線OA與OB的斜率的乘積；
②試求|

OA

|²+|

OB

|²的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知

c a = 2 2 2c=2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，設M（x，y），則

x=x1cosθ+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

，由此結(jié)合已知條件推導出k_OA•k_OB=-

1

2

．
②(y1y2)2=(-

x1x2

2

)2=

x12

2

•

x22

2

=1-(y12+y22)+y12y22，由此得到y12+y22=1，x12+x22=2，從而能求出|

OA

|²+|

OB

|²=x12+y12+x22+y22=3．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，其焦距為2，
∴

c a = 2 2 2c=2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=1，c=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）①設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x12

2

+y12=1，（i），

x22

2

+y22=1，（ii），
又設M（x，y），∵

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，
故

x=x1cosθ+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

∵M在橢圓上，
∴

(x1cosθ+x2sinθ)2

2

+（y₁cosθ+y₂sinθ）²=1，
整理得：(

x12

2

+y12)cos2θ+(

x22

2

+y22)sin2θ+2（

x1x2

2

+y1y2）cosθsinθ=1，
將（i）（ii）代入上式，并由cosθsinθ≠0，
得

x1x2

2

+y1y2=0，
∴k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

．
②(y1y2)2=(-

x1x2

2

)2=

x12

2

•

x22

2

=(1-y12)(1-y22)
=1-(y12+y22)+y12y22，
故y12+y22=1，
又（

x12

2

+y12）+（

x22

2

+y22）=2，
故x12+x22=2，
|

OA

|²+|

OB

|²=x12+y12+x22+y22=3．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線斜率乘積的求法，考查兩線段平方的和的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．