在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,其焦距為2.
(1)求橢圓的方程;
(2)設A、B、M是橢圓上的三點(異于橢圓頂點),且存在銳角θ,使
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB

①試求直線OA與OB的斜率的乘積;
②試求|
OA
|2+|
OB
|2的值.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由題意知
c
a
=
2
2
2c=2
a2=b2+c2
,由此能求出橢圓方程.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),則
x12
2
+y12=1
,
x22
2
+y22=1
,設M(x,y),則
x=x1cosθ+x2sinθ
y=y1cosθ+y2sinθ
,由此結(jié)合已知條件推導出kOA•kOB=-
1
2

(y1y2)2=(-
x1x2
2
)2=
x12
2
x22
2
=1-(y12+y22)+y12y22,由此得到y12+y22=1x12+x22=2,從而能求出|
OA
|2+|
OB
|2=x12+y12+x22+y22=3.
解答: 解:(1)∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,其焦距為2,
c
a
=
2
2
2c=2
a2=b2+c2
,解得a=
2
,b=1,c=1,
∴橢圓方程為
x2
2
+y2=1

(2)①設A(x1,y1),B(x2,y2),
x12
2
+y12=1
,(i),
x22
2
+y22=1
,(ii),
又設M(x,y),∵
OM
=cosθ
OA
+sinθ•
OB

x=x1cosθ+x2sinθ
y=y1cosθ+y2sinθ

∵M在橢圓上,
(x1cosθ+x2sinθ)2
2
+(y1cosθ+y2sinθ)2=1,
整理得:(
x12
2
+y12)cos2θ+(
x22
2
+y22)sin2θ
+2(
x1x2
2
+y1y2
)cosθsinθ=1,
將(i)(ii)代入上式,并由cosθsinθ≠0,
x1x2
2
+y1y2
=0,
∴kOA•kOB=
y1y2
x1x2
=-
1
2

(y1y2)2=(-
x1x2
2
)2=
x12
2
x22
2

=(1-y12)(1-y22)
=1-(y12+y22)+y12y22
y12+y22=1,
又(
x12
2
+y12
)+(
x22
2
+y22
)=2,
x12+x22=2,
|
OA
|2+|
OB
|2=x12+y12+x22+y22=3.
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查兩直線斜率乘積的求法,考查兩線段平方的和的求法,解題時要認真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運用.
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5
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