Question

已知函數(shù)f（x）=e²x+（1-2t）e^x+t²，求證：當(dāng)x≥0時，f（x）+cosx≥x+2．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令e^x=a，a≥1，f（x）=a²+（1-2t）a+t²，從而（a-t）²≥x+2-a-cosx，由（a-t）²≥0，只要證t（x）=x+2-e^x-cosx≤0即可，由此能證明當(dāng)x≥0時，f（x）+cosx≥x+2．

解答： 證明：令e^x=a，∵x≥0，∴a≥1，
∴f（x）=a²+（1-2t）a+t²，
∴a²+（1-2t）a+t²+cosx≥x+2，
∴（a-t）²+cosx+a≥x+2，
∴（a-t）²≥x+2-a-cosx，
∵（a-t）²≥0，
∴只要證t（x）=x+2-e^x-cosx≤0即可，
∵t′（x）=-e^x+sinx+1，
當(dāng)x≥0時，t′（x）≤0，∴t（x）在[0，+∞）是減函數(shù)，
∴t（x）_max=t（0）=0∴t（x）≤0，
∴當(dāng)x≥0時，f（x）+cosx≥x+2．

點評：本題考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．