Question

【題目】已知指數(shù)函數(shù)= 滿足定義域為的函數(shù)=是奇函數(shù).

(1)確定函數(shù)與的解析式;

(2)若對任意的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) g(x)=2x，f(x)= (2)k＜.

【解析】試題分析：(1)由指數(shù)函數(shù)y=g(x)=ax滿足: 求出a的值,可得函數(shù)g(x)的解析式;f(x)= ,再由奇函數(shù)求出m的值即可;

(2)由(1)知f(x)= ,易知f(x)在(﹣,+)上為減函數(shù),則原不等式等價于f(t2﹣2t)＜﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),等價于t2﹣2t＞k﹣2t2, 對一切t∈R恒成立,由判別式＜0可得結論.

試題解析：(1)∵指數(shù)函數(shù)y=g(x)=ax滿足:

則a=2,

所以g(x)=2x,

所以f(x)= ,

因為它是奇函數(shù).0是函數(shù)的定義域的值,

所以f(0)=0,即,

則n=1,

所以f(x)= ,

又由f(1)=﹣f(-1)知,

所以m=2,

f(x)= .

(2)由(1)知f(x)= ,

易知f(x)在(﹣,+)上為減函數(shù).

又因f(x)是奇函數(shù),從而不等式:

f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)＜0等價于f(t2﹣2t)＜﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),

因f(x)為減函數(shù),由上式推得:t2﹣2t＞k﹣2t2,

即對一切t∈R有:3t2﹣2t﹣k＞0,

從而判別式=4+12k＜0,解得:k＜.

點晴：本題考查函數(shù)單調(diào)性函數(shù)奇偶性以及恒成立問題：本題首先利用函數(shù)f(x)的奇偶性將不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)＜0轉(zhuǎn)化為f(t2﹣2t)＜f(k﹣2t2),再利用f(x)的單調(diào)性推得:t2﹣2t＞k﹣2t2,最后得到對一切t∈R有:3t2﹣2t﹣k＞0,從而判別式=4+12k＜0,解得:k＜.