Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=

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2

AA₁，D是棱AA₁的中點(diǎn)，求二面角A₁-BD-C₁的大�。ㄓ每臻g向量法）．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間角

分析：以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A₁-BD-C₁的大小．

解答： 解：設(shè)AC=BC=

1

2

AA₁=1，
以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A₁（1，0，2），B（0，1，0），D（1，0，1），
C₁（0，0，2），

BC1

=（0，-1，2），

BD

=（1，-1，1），

BA1

=（1，-1，2），
設(shè)平面A₁BD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BA1 =x-y+2z=0 n • BD =x-y+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，0），
設(shè)平面C₁BD的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • BC1 =-b+2c=0 m • BD =a-b+c=0

，
取c=1，得

m

=（1，2，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1+2+0

2 × 6

=

3

2

，
∴＜

m

，

n

＞=30°，
∴二面角A₁-BD-C₁的大小為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．