Question

（2013•涼山州二模）在直角坐標平面內(nèi)，點A（x，y）實施變換f后，對應點為A'（y，x），給出以下命題：
①圓x²+y²=r²（r≠0）上任意一點實施變換f后，對應點的軌跡仍是圓x²+y²=r²：
②若直線y=kx+b上海一點實施變換f后，對應點的軌跡方程仍是y=kx+b，則k=-1；
③橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)每一點，實施變換f后，對應點的軌跡仍是離心率不變的橢圓；
④曲線C；y=1nx-x（x＞0）上每一點實施變換f后，對應點軌跡足曲線C'，M是曲線C上任意一點，N是曲線C'上任意一點，則|MN|的最小值為

2

(1+ln2)．
以上正確命題的序號是

①③④

 （寫出全部正確命題的序號）

Answer 1

分析：題目給出的點A（x，y）實施變換f后，對應點為A'（y，x），對應在曲線上是指的曲線關(guān)于直線y=x的對稱曲線，利用求曲線關(guān)于對稱曲線的方程的步驟，求出四個選項中給出的曲線關(guān)于y=x的對稱曲線的方程，然后對命題加以判斷，特別是對命題④的判斷，需要構(gòu)造輔助函數(shù)，說明曲線恒在直線y=x的下方，然后求出曲線y=1nx-x（x＞0）上的點到直線的距離的最小值，進一步得到兩對稱曲線上的點的距離的最小值再進行判斷．

解答：解：由題意點A（x，y）實施變換f后，對應點為A'（y，x），對應曲線來說，就是求曲線關(guān)于直線y=x的對稱曲線．
對于①，因為圓x²+y²=r²（r≠0）的圓心在直線y=x上，所以圓x²+y²=r²（r≠0）上任意一點實施變換f后，對應點的軌跡仍是圓x²+y²=r²．所以①正確；
對于②，直線y=kx+b關(guān)于直線y=x的對稱曲線方程為y=

1

k

x-

b

k

，而直線y=kx+b上每一點實施變換f后，對應點的軌跡方程仍是y=kx+b，所以

k= 1 k - b k =b

，解得

k=1 b=0

，或

k=-1 b∈R

．所以②不正確；
對于③，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上每一點，實施變換f后，對應點的軌跡為

y2

a2

+

x2

b2

=1，所以軌跡仍是離心率不變的橢圓．所有③正確；
對于④，令g（x）=x-（lnx-x）=2x-lnx（x＞0）．
g′(x)=2-

1

x

=

2x-1

x

．
當x∈（0，

1

2

）時，g^′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當x∈（

1

2

，+∞）時，g^′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
所以g（x）在（0，+∞）上有極小值，也是最小值．
最小值為g(

1

2

)=1+ln2．所以曲線y=1nx-x（x＞0）上的點到直線y=x的距離的最小值為

2

2

(1+ln2)．
由對稱性可知，曲線y=1nx-x（x＞0）上的點與其關(guān)于直線y=x的對稱曲線上的點的最小值為2×

2

2

(1+ln2)
即為

2

(1+ln2)．所以④正確．
所以正確命題的序號是①③④．
故答案為①③④．

點評：本題考查了命題的真假的判斷，是新定義題，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，解答的關(guān)鍵是理解題目意思，把問題轉(zhuǎn)化為曲線關(guān)于直線y=x的對稱曲線的關(guān)系問題，是中檔題．