Question

點P、Q在曲線x²+y²=1（y≥0）上，O是xOy坐標系原點，P、Q在x軸上的射影是M、N，并且OQ平分∠PON，則(

OM

+

ON

)•(

OP

+

OQ

)的最小值是（　�。�

A．-1

B．0

C．1

D．2

Answer 1

分析：設Q（cosθ，sinθ），則P（cos2θ，sin2θ）．則M（-cos2θ，0），N（cosθ，0）．利用數(shù)量積運算可得(

OM

+

ON

)•(

OP

+

OQ

)，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性和θ的范圍即可得出．

解答：解：設Q（cosθ，sinθ），則P（cos2θ，sin2θ）．
則M（-cos2θ，0），N（cosθ，0）．
∴(

OM

+

ON

)•(

OP

+

OQ

)=（cosθ-cos2θ，0）•（cosθ+cos2θ，sinθ+sin2θ）
=cos²θ-cos²2θ
=cos²θ-（2cos²θ-1）²
=-4cos⁴θ+5cos²θ-1
=-4(cos2θ-

5

8

)2+

9

16

，
∵y≥0，∴0≤θ≤π．
∴0≤cos²θ≤1．
∴當cos²θ=0時，則(

OM

+

ON

)•(

OP

+

OQ

)的最小值是-1．
故選A．

點評：熟練掌握數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關鍵．