Question

若x、y是正數(shù)．x、a、b、y四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，x、m、n、y四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列．則

(a+b)2

mn

的取值范圍是（　�。�

A．[2，+∞）

B．（0，+∞）

C．（0，4]

D．[4，+∞）

Answer 1

分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a+b=x+y，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得mn=xy，進(jìn)而可得

(a+b)2

mn

=

(x+y)2

xy

=

y

x

+

x

y

+2，由基本不等式計(jì)算可得

(a+b)2

mn

的最小值，可得

(a+b)2

mn

的范圍，即可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，x、a、b、y四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則a+b=x+y，
x、m、n、y四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則mn=xy，
則

(a+b)2

mn

=

(x+y)2

xy

=

y

x

+

x

y

+2，
又由x、y是正數(shù)，可得

y

x

、

x

y

都是正數(shù)，
則

(a+b)2

mn

=

y

x

+

x

y

+2≥2

x y • y x

+2=4，
即

(a+b)2

mn

的最小值為4，其取值范圍是[4，+∞）；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的應(yīng)用和等比、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用，關(guān)鍵是利用等比、等差數(shù)列的性質(zhì)將

(a+b)2

mn

用x、y表示出來．