Question

已知函數(shù)f（x）=|x+

1

x

|，定義在R上的函數(shù)g（x）=log₂（x²-4x+m），若?x₁∈R，?x₂∈R，使得f（x₁）＞g（x₂），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知得f（x）_min＞g（x₂），由f（x）=|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

≥2

|x|• 1 |x|

=2，得f（x）_min=2，由g（x）=log₂（x²-4x+m）=log₂[（x-2）²+m-4]≥log₂（m-4），得log₂（m-4）＜2=log₂4，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵?x₁∈R，?x₂∈R，使得f（x₁）＞g（x₂），
∴f（x）_min＞g（x₂），
∵f（x）=|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

≥2

|x|• 1 |x|

=2，
∴當(dāng)且僅當(dāng)|x|=

1

|x|

時(shí)，即x=±1時(shí)，f（x）_min=2，
∵g（x）=log₂（x²-4x+m）=log₂[（x-2）²+m-4]≥log₂（m-4），
∴l(xiāng)og₂（m-4）＜2=log₂4，
∴

m-4＞0 m-4＜4

，
解得4＜m＜8．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（4，8）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．