Question

已知M是所有同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的集合：
①函數f（x）在其定義域上是單調函數；
②在函數f（x）的定義域內存在閉區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．請解答以下問題
（1）判斷函數g（x）=-x²（x∈[0，+∞））是否屬于集合M？若是，請求出相應的區(qū)間[a，b]；若不是，請說明理由．
（2）證明函數f（x）=3log₂x屬于集合M；
（3）若函數f（x）=

mx

1+|x|

屬于集合M，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：新定義,函數的性質及應用

分析：（1）利用函數的單調性定義推導函數是否單調，然后假設滿足條件②，利用單調性求最值，進行推導；（2）先單調性可以利用定義法證明函數的單調性，然后數形結合，利用根的存在性定理說明存在性；（3）函數在定義域R上連續(xù)，利用函數的性質證明單調，然后假設屬于M，求m范圍．

解答： 解：（1）設x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂則
g（x₁）-g（x₂）=-x

2 1

+x

2 2

=（x₂+x₁）（x₂-x₁），
∵x₁，x₂∈[0，+∞），x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，
∴（x₂+x₁）（x₂-x₁）＞0，
即g（x₁）-g（x₂）＞0，
g（x₁）＞g（x₂），
函數g（x）=-x²（x∈[0，+∞））在其定義域上是單調遞減，滿足①；
假設函數g（x）∈M，則存在區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．
又由①可知函數g（x）=-x²（x∈[0，+∞））在其定義域上是單調遞減，
則函數g（x）在其[a，b]上是單調遞減，
得

-a2=b -b2=a b＞a≥0

滿足條件的解不存在，
則假設不成立，函數g（x）=-x²（x∈[0，+∞））不屬于集合M．
（2）證明：函數f（x）=3log₂x定義域為{x|x＞0}，
設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂則
f（x₁）-f（x₂）=3log₂x₁-3log₂x₂=3log₂

x1

x2

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴

x1

x2

＜1，
∴3log₂

x1

x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
函數f（x）=3log₂x在其定義域上是單調遞增．
假設f（x）∈M，在函數f（x）的定義域內存在閉區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b，
則

3log2a=a 3log2b=b

，令g（x）=2 

x

3

-x，則有g（1）＞0，g（3）＜0，g（9）＜0，g（12）＞0，如右圖

存在1＜a＜3，9＜b＜12，使得g（a）=0，g（b）=0，
也就是函數f（x）的定義域內存在閉區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b
綜上，函數f（x）=3log₂x屬于集合M得證．
（3）m=0時，函數f（x）=0，不屬于M，則m≠0
f（x）的定義域為R，函數f（x）=

mx

1+|x|

=

m 1 x +1 ，x＞0 0 ，x=0 m 1 x -1 ，x＜0

當m＞0時，f（x）分別在（-∞，0）和（0，+∞）上單調遞增，且?x＜0，f（x）＜0，?x＞0，f（x）＞0，則f（x）在R上單調遞增，
同理可證當m＜0時，f（x）在R上單調遞減，則函數在定義域上為單調函數．
若函數f（x）=

mx

1+|x|

屬于集合M，
則在函數f（x）的定義域R內存在閉區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．
即方程數

mx

1+|x|

=x有兩個不等實根，也就是x≠0且

m

1+|x|

=1，則m=1+|x|＞1
綜上，m＞1

點評：本題新定義題，注意條件的使用，在（2）中轉化為函數后，使用根的存在性定理判斷，降低計算難度．