Question

13．已知函數f（x）=sinx+cosx，$g（x）=\sqrt{2}sin2x$，則下列結論正確的是（　　）

• A． 把函數f（x）圖象上各點的橫坐標縮短到原來的一半（縱坐標不變），再向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度，可得到函數g（x）的圖象
• B． 兩個函數的圖象均關于直線$x=-\frac{π}{4}$對稱
• C． 兩個函數在區(qū)間$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上都是單調遞增函數
• D． 函數y=g（x）在[0，2π]上只有4個零點

Answer 1

分析 利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的圖象以及性質，得出結論．

解答 解：∵函數f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），$g（x）=\sqrt{2}sin2x$，
故把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$sinx的圖象，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话�，可得g（x）=$\sqrt{2}$sin2x的圖象，故A不對．
當x=-$\frac{π}{4}$時，f（x）=0，不是最值，故f（x）的圖象不關于直線$x=-\frac{π}{4}$對稱，故排除B．
在區(qū)間$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上，x+$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），2x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），故f（x）和g（x）在區(qū)間$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上都是單調遞增函數，故C正確．
在[0，2π]上，2x∈[0，4π]，由g（x）=0，可得2x=0，π，2π，3π，4π，即x=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，共計5個零點，故D錯誤，
故選：C．

點評 本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的圖象以及性質，屬于基礎題．