Question

已知函數(shù)f（x）=3x²+2（k-1）x+k+5（k∈R）
（1）對任意k∈（-1，1），不等式f（x）＜0恒成立，求x的取值范圍；
（2）若函數(shù)在區(qū)間（0，2）內(nèi)有零點，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的應用

專題：分類討論,不等式的解法及應用

分析：（1）把函數(shù)f（x）整理成k的一次函數(shù)g（k），由題意

g(-1)＜0 g(1)＜0

，求出不等式組的解集，即是x的取值范圍；
（2）由函數(shù)f（x）=3x²+2（k-1）x+k+5在區(qū)間（0，2）內(nèi)有零點，等價于方程3x²+2（k-1）x+k+5=0在區(qū)間（0，2）內(nèi)有實數(shù)根，
討論（i）判別式△=0，（ii）判別式△＞0時，方程根的情況，（iii）f（2）=0或f（0）=0時，k的取值是否符合題意；由此求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3x²+2（k-1）x+k+5，（k∈R），
∴設g（k）=（2x+1）k+3x²-2x+5，k∈（-1，1）；
∴

g(-1)＜0 g(1)＜0

；
即

3x2-4x+4＜0 3x2+6＜0

，
解得x∈∅，
∴x的取值范圍是∅；
（2）∵函數(shù)f（x）=3x²+2（k-1）x+k+5在區(qū)間（0，2）內(nèi)有零點，
等價于方程3x²+2（k-1）x+k+5=0在區(qū)間（0，2）內(nèi)有實數(shù)根，
則（i）判別式△=4（k-1）²-12（k+5）=0時，得k=7或k=-2，
此時方程的根分別是k=7時，根是x₁=x₂=-2；
k=-2時，根是x₁=x₂=1；
∵方程在（0，2）內(nèi)有實數(shù)根，∴k=-2（k=7舍去）；
（ii）判別式△＞0時，則k＞7或k＜-2，
①若兩根都在（0，2）內(nèi)，則對稱軸x=-

k-1

3

在（0，2）內(nèi)，f（0）＞0、f（2）＞0，
即

△=4(k-1)2-12(k+5)＞0 0＜- k-1 3 ＜2 f(0)=k+5＞0 f(2)=12+4(k-1)+k+5＞0

；
解得

k＞7或k＜-2 -5＜k＜1 k＞-5 k＞- 13 5

；
∴-

13

5

＜k＜-2；
②若方程在（0，2）內(nèi)存在一個根，則f（0）•f（2）＜0，
解得-5＜k＜-

13

5

；
（iii）當f（2）=0時，即12+4（k-1）+k+5=0，k=-

13

5

，
此時f（0）=k+5=

12

5

＞0，∴k=-

13

5

符合題意；
當f（0）=k+5=0時，k=-5，此時f（2）=12+4（k-1）+k+5=-12＜0，不符合題意，舍去；
∴k=-

13

5

；
綜上，k的取值范圍是{k|-5＜k≤-2}．

點評：本題考查了轉化思想的應用問題，也考查了分類討論思想，一元二次不等式的解法與應用問題，函數(shù)的零點應用問題，是綜合題．