Question

設(shè)a為常數(shù)，且a＜1．
（1）解關(guān)于x的不等式（a²-a-1）x＞1；
（2）解關(guān)于x的不等式組

2x2-3(1+a)x+6a＞0 0≤x≤1

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）對(duì)a進(jìn)行分類討論，判斷得出a²-a-1的正負(fù)，進(jìn)而可求得其解集；
（2）對(duì)a分類討論先求得一元二次不等式2x²-3（1+a）x+6a＞0的解集，再與0≤x≤1求交集即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）令a²-a-1=0，解得a1=

1- 5

2

＜0，a2=

1+ 5

2

＞1．
①當(dāng)a＜

1- 5

2

時(shí)，解原不等式，得x＞

1

a2-a-1

，即其解集為{x|x＞

1

a2-a-1

}；
②當(dāng)a=

1- 5

2

時(shí)，解原不等式，得無(wú)解，即其解集為φ；            
③當(dāng)

1- 5

2

＜a＜1時(shí)，解原不等式，得x＜

1

a2-a-1

，即其解集為{x|x＜

1

a2-a-1

}．
（2）依2x²-3（1+a）x+6a＞0（*），令2x²-3（1+a）x+6a=0（**），
可得△=9（1+a）²-48a=3（3a-1）（a-3）．
①當(dāng)

1

3

＜a＜1時(shí)，△＜0，此時(shí)方程（**）無(wú)解，解不等式（*），得x∈R，故原不等式組的解集為{x|0≤x≤1}；                                         
②當(dāng)a=

1

3

時(shí)，△=0，此時(shí)方程（**）有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=

3(1+a)

4

=1，
解不等式（*），得x≠1，故原不等式組的解集為{x|0≤x＜1}；            
③當(dāng)a＜

1

3

時(shí)，△＞0，此時(shí)方程（**）有兩個(gè)不等的實(shí)根x3=

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

，x4=

3+3a+ 3(3a-1)(a-3)

4

，
且x₃＜x₄，解不等式（*），得x＜x₃或x＞x₄．
x4=

3+3a+ 3(3a-1)(a-3)

4

=

3+3a+ (1-3a)2+(8-24a)

4

＞

3+3a+1-3a

4

=1，
x3=

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

＜

3+3a

4

＜1，
且x3=

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

=

3+3a- (3-5a)2-16a2

4

≥

3+3a-(3-5a)

4

=2a，
所以當(dāng)a＞0，可得x₃＞0；又當(dāng)x₃＞0，可得a＞0，故x₃＞0?a＞0，（
所以�。┊�(dāng)0＜a＜

1

3

時(shí)，原不等式組的解集為{x|0≤x＜

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

}；
ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，原不等式組的解集為φ．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，原不等式組的解集為φ；當(dāng)0＜a＜

1

3

時(shí)，原不等式組的解集為{x|0≤x＜

3+3a- 3(3a-1)(a-3)

4

}；
當(dāng)a=

1

3

時(shí)，原不等式組的解集為{x|0≤x＜1}；當(dāng)

1

3

＜a＜1時(shí)，原不等式組的解集為{x|0≤x≤1}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查含有參數(shù)的一元一次不等式及一元二次不等式的解法，考查學(xué)生分類討論思想的運(yùn)用能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．