Question

【題目】已知函數有兩個零點，，且.

（1）求的取值范圍；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）首先求出函數的導函數，令，即可求出函數的最小值，要使函數有兩個零點則，即可求出參數的取值范圍，再驗證即可；

（2）由得，令，則，是與交點橫坐標.求出的導數，即可求出的單調性與最值，得到，再構造函數，證明其單調性從而得證；

（1），由得，

當時，，即在上單調遞增；

當時，，即在上單調遞減；

在處取得最小值，解得.

，，在上有1個零點；

，，，令，則，，，

，在上有1個零點，

綜上，的取值范圍是.

（2）由得，令，則，是與交點橫坐標.

，當時，，在上是減函數，在上是增函數，

在處取得最小值，，

設，，是減函數，

，，

，，

、，在上遞減，，即.