Question

下列說(shuō)法中：
①函數(shù)y=lg（x²-ax-a）的值域?yàn)镽，則a∈（-4，0）；
②O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)且λ∈[0，+∞），則P的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心；
③△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若acosA=bcosB，則△ABC是等腰三角形；
④若函數(shù)f（x）=x+log₂（x+

x2+1

），則“m+n≥0”是“f（m）+f（n）≥0”的充要條件．其中所有正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：①，依題意知，y=x²-ax-a與x軸有公共點(diǎn)，由△=（-a）²-4×1×（-a）≥0，可判斷①；
②，設(shè)BC中點(diǎn)為D，易知A、P、D三點(diǎn)共線，從而可判斷②；
③，利用正弦定理與二倍角的正弦可得sin2A=sin2B，分析得到A=B或A+B=

π

2

，從而可判斷③；
④可判斷函數(shù)f（x）=x+log₂（x+

x2+1

）為R上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，利用充分必要條件的概念可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，函數(shù)y=lg（x²-ax-a）的值域?yàn)镽，則y=x²-ax-a與x軸有公共點(diǎn)，故△=（-a）²-4×1×（-a）≥0，解得a∈[0，4]，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，設(shè)BC中點(diǎn)為D，則AD為△ABC中BC邊上的中線且

AB

+

AC

=2

AD

，
∵

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)，
∴

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)，
∴

OP

-

OA

=λ(

AB

+

AC

)，即

AP

=λ(

AB

+

AC

)=2λ

AD

，
∴AP∥AD，
∴A、P、D三點(diǎn)共線
所以點(diǎn)P一定過(guò)△ABC的重心，②正確．
對(duì)于③，△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若acosA=bcosB，則sin2A=sin2B，
所以，2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=

π

2

，
故△ABC是等腰三角形或直角三角形，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，因?yàn)閒（x）=x+log₂（x+

x2+1

），其定義域?yàn)镽，
所以f（-x）+f（x）=-x+log₂（-x+

x2+1

）+x+log₂（x+

x2+1

）=log₂[（x+

x2+1

）（-x+

x2+1

）]=log₂1=0，
所以，f（-x）=-f（x），f（x）=x+log₂（x+

x2+1

）是奇函數(shù)，
由于函數(shù)y=x+

x2+1

在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，所以f（x）=x+log₂（x+

x2+1

）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，而f（x）=x+log₂（x+

x2+1

）是R上的奇函數(shù)，
故在R上單調(diào)遞增；
所以，m+n≥0，即m≥-n時(shí)，f（m）≥f（-n）=-f（n），所以f（m）+f（n）≥0，即充分性成立；
反之，若f（m）+f（n）≥0，則f（m）≥-f（n）=f（-n），所以m≥-n，即m+n≥0，必要性成立；
所以“m+n≥0”是“f（m）+f（n）≥0”的充要條件，④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，平面向量共線定理的應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查充分必要條件的判斷，突出考查綜合運(yùn)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力及鉆研精神，屬于難題．