Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤

π

2

）滿足f（x+2φ）=f（2φ-x），且對(duì)任意a∈R，在區(qū)間（a，a+2π]上f（x）有且只有一個(gè)最小值，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2φ對(duì)稱，求得φ=

π

2

．再根據(jù)函數(shù)的周期為2π=

2π

ω

，求得ω=1，可得f（x）=-sinx．本題即求函數(shù)y=sinx的增區(qū)間，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性的出結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）滿足f（x+2φ）=f（2φ-x），
故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2φ對(duì)稱，
故2φ=kπ，k∈z．
再結(jié)合0＜φ＜

π

2

，可得φ=

π

2

．
又對(duì)任意a∈R，在區(qū)間（a，a+2π]上f（x）有且只有一個(gè)最小值，
故函數(shù)的周期為2π=

2π

ω

，∴ω=1，
故f（x）=cos（x+

π

2

）=-sinx．
故函數(shù)f（x）的減區(qū)間就是函數(shù)y=sinx的增區(qū)間，為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和周期性，正弦函數(shù)的增區(qū)間，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．