Question

【題目】已知函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意在上總存在兩個不同的，使成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是;（2）.

【解析】

試題分析: （1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)解出不等式得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出函數(shù)在上的值域,當(dāng)時, 不合題意; 當(dāng)時，判斷極值點與端點e的關(guān)系,分為時,不合題意;時,在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,又在上恒成立, 欲使對任意的在上總存在兩個不同的，使成立，則需滿足，即.

試題解析:（1），.

1）當(dāng)，；

2）當(dāng)，令，；

綜上：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）∵，∴，

∴在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減.又∵，，，

∴函數(shù)在內(nèi)的值域為.

由，得.

①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，不合題意；

②當(dāng)時，令，則；令，則.

i）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，不合題意；

ii）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

令，，則，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

∴，即在上恒成立.

令，則，設(shè)，，則，

∴在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，即，∴，∴，即.

∴當(dāng)時， ，

且在上連續(xù).

欲使對任意的在上總存在兩個不同的，

使成立，則需滿足，即.

又∵，∴，

∴.綜上所述，.