Question

若函數(shù)f（x）的定義域為N⁺，且f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，f（1）=1，求f（x）的表達式．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,推理和證明

分析：根據(jù)題意，求出f（2）、f（3）、f（4）、f（5）的值，利用歸納猜想，求出f（x）的解析式．

解答： 解：∵f（x）的定義域為N⁺，且f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，f（1）=1，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+1×1=1+1+1=3，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）+1×2=3+1+2=6，
f（4）=f（3+1）=f（3）+f（1）+1×3=6+1+3=10，
f（5）=f（4+1）=f（4）+f（1）+1×4=10+1+4=15，
f（6）=f（5+1）=f（5）+f（1）+1×5=15+1+5=21，
，…，
∴f（x）=1+2+3+…+x=

x(x+1)

2

x∈N⁺；

點評：本題考查了利用歸納、猜想求函數(shù)解析式的問題，解題時應(yīng)對簡單的問題進行分析，以便得出正確的結(jié)論，是較基礎(chǔ)題．