Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）²．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，當(dāng)n=1時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）=k（k+1）²成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．

解答： 證明：①當(dāng)n=1時(shí)，3n+1=4，而等式左邊起始為1×4的連續(xù)的正整數(shù)積的和，
故n=1時(shí)，等式左端=1×4=4，右端=4，成立；
②設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）=k（k+1）²成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=k（k+1）²+（k+1）（3k+4）=（k+1）（k²+k+3k+4）=（k+1）（k+1+1）²，即n=k+1，成立
綜上所述，1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，屬于中檔題．