Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f[f（x）]=xf（x）+1，則方程f（x）=0的實根個數為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、4

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：

分析：設設函數的零點為x₀，則f（x₀）=0，
賦值思想：x=0，代入f[f（x）]=xf（x）+1可得f（1）=1，
x=1，代入f[f（x）]=xf（x）+1可得：f[f（1）]=1×f（1）+1，即f（1）=1×1+1=2，與f（1）=1，矛盾，判斷無零點．

解答： 解：∵f[f（x）]=xf（x）+1，
∴設函數的零點為x₀，
則f（x₀）=0，
∴f[f（x₀）]=x₀f（x₀）+1，
f（0）=x₀×0+1=1，
把x=0代入f[f（x）]=xf（x）+1可得f（1）=1，
x=1，代入f[f（x）]=xf（x）+1可得：f[f（1）]=1×f（1）+1，
即f（1）=1×1+1=2，與f（1）=1，矛盾．
∴函數f（x）無零點，
方程f（x）=0的實根個數為0
故選：A

點評：本題考查了抽象函數的零點的求解判斷，賦值思想，反正法，屬于難題．