已知函數(shù)，，．

(1)若，試判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值的表達(dá)式．

 

【答案】

(1)判斷：若，函數(shù)在上是增函數(shù). 用單調(diào)性的定義證明即可， (2)   

【解析】

試題分析：(1)判斷：若，函數(shù)在上是增函數(shù).          …………2分

證明：當(dāng)時，，在區(qū)間上任意，設(shè)，

所以，即在上是增函數(shù).        …… 7分

(注：用導(dǎo)數(shù)法證明或其它方法說明也同樣給7分)

(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070412002885616798/SYS201307041201343353699450_DA.files/image010.png">，所以…… 9分

①當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上也是增函數(shù)，

所以當(dāng)時，取得最大值為；                   …… 10分

②當(dāng)時，在上是增函數(shù)，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

而，

當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)取最大值為；

當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)取最大值為；

綜上得，  ……14分

考點(diǎn)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)

點(diǎn)評：利用函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)最值及值域的最基本的方法，另外函數(shù)單調(diào)性的定義是證明單調(diào)性的最基本的方法，要掌握其步驟

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
-1，則f（x）的最小值是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•自貢一模）已知函數(shù)f(x)=  
x+1
，  x
≤0，
log2x
，x＞0
，
則函數(shù)y=f[f（x）]+1的零點(diǎn)個數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)閇1，2]，則函數(shù)f（4x+1）的定義域?yàn)椋ā　。?/div>

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•永州一模）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-p
x
．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（2）如果數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=[1+
1
n2(n+1)2
]an+
1
4n
，試證明：當(dāng)n≥2時，4≤an＜4e
3
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•浦東新區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=
x2+1
-ax，其中a＞0．
（1）若2f（1）=f（-1），求a的值；
（2）當(dāng)a≥1時，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

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