Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）是否存在實數(shù)，使得當時，函數(shù)的最大值為？若存在，取實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】試題分析：（1）先求導數(shù)，再求導函數(shù)零點，列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，確定極值（2）先求函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)零點情況分類討論，根據(jù)函數(shù)取最大值情況研究實數(shù)的取值范圍：當時，函數(shù)先增后減，最大值為；當時，再根據(jù)兩根大小進行討論，結合函數(shù)圖像確定滿足題意的限制條件，解出實數(shù)的取值范圍

試題解析：（1）當時， ，則，

化簡得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

且，

所以函數(shù)在處取到極小值為，在處取得極大值.

（2）由題意，

①當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，不存在實數(shù)，使得當時，函數(shù)的最大值為，

②當時，令有或，

（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然符合題意.

（2）當即時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，

此時由題意，只需，解得，又，

所以此時實數(shù)的取值范圍是.

（3）當即時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，要存在實數(shù)，使得當時，函數(shù)的最大值為，

則，代入化簡得，

，因為恒成立，

故恒有，所以時，所以恒成立，

綜上，實數(shù)的取值范圍是.