Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，CC₁=2，AC₁與平面BCC₁B₁所成角為30°，AB⊥平面BB₁C₁C．
（I）求證：BC⊥AC₁；
（Ⅱ）求二面角C-AC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)BC₁，由已知條件推導(dǎo)出CB⊥AB，CB⊥BC₁，從而得到CB⊥平面ABC₁，由此能證明CB⊥AC₁．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，利用向量法能求出二面角C-AC₁-B₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)BC₁，∵AB⊥平面BCC₁B₁，∴∠AC₁B=30°，
∵AB=1，∴BC₁=

3

，
∵BC=1，CC₁=2，
∴BC2+BC12=CC12，∴∠CBC1=90 °，
∵CB⊥AB，CB⊥BC₁，∴CB⊥平面ABC₁，
∴CB⊥AC₁．
（Ⅱ）解：建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
由題意知B（0，0，0），C（1，0，0），C1(0，

3

，0)，
A（0，0，1），B1(-1，

3

，0)，
∴

AC1

=(0，

3

，-1)，

CC1

=(-1，

3

，0)，

C1B1

=(-1，0，0)，
設(shè)平面ACC₁的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • AC1 = 3 y-z=0 m • OC1 =-x+ 3 y=0

，取x=1，得

m

=(1，

3

3

，1)
設(shè)平面AB₁C₁的法向量為

n

=(x1，y1，z1)，
則

n • B1C1 =-x1=0 n • AC1 = 3 y1-z1=0

，取z₁=1，得

n

=(0，

3

3

，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

1 3 +1

7 3 • 4 3

=

2 7

7

，
∵二面角C-AC₁-B₁的平面角是鈍角，∴二面角C-AC₁-B₁的余弦值是-

2 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．