Question

已知

a

=（

3

sinx，m+cosx），

b

=（cosx，-m+cosx），且f（x）=

a

•

b

，其中m為常數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x∈R，求f（x）的遞增區(qū)間；
（3）當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，f（x）的最小值是-4，求此時函數(shù)f（x）的最大值，并求出相應的x的值．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：平面向量及應用

分析：（1）由已知得f（x）=

3

sinxcosx+cos²x-m²，由此能求出f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

-m2．
（2）f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

-m2的增區(qū)間滿足-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，由此能求出f（x）的遞增區(qū)間．
（3）由已知得f（-

π

6

）=sin（-

π

6

）+

1

2

-m2=-m²=-4，解得m²=4，由此能求出當x=

π

6

時，f（x）_max=f（

π

6

）=sin

π

2

+

1

2

-4=-

5

2

．

解答： 解：（1）∵

a

=（

3

sinx，m+cosx），

b

=（cosx，-m+cosx），且f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=

3

sinxcosx+cos²x-m²
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

-m2
=sin（2x+

π

6

）+

1

2

-m2，
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

-m2．
（2）f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

-m2的增區(qū)間滿足：
-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π 6

+kπ](k∈Z)，k∈Z．
（3）∵當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，f（x）的最小值是-4，
∴f（-

π

6

）=sin（-

π

6

）+

1

2

-m2=-m²=-4，
解得m²=4，
當x=

π

6

時，f（x）_max=f（

π

6

）=sin

π

2

+

1

2

-4=-

5

2

．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的增區(qū)間的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，是中檔題，解題時要注意向量知識的合理運用．