Question

給出下列五個命題：
①某班級一共有52名學(xué)生，現(xiàn)將該班學(xué)生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容易為4的樣本，已知7號，33號，46號同學(xué)在樣本中，那么樣本另一位同學(xué)的編號為23；
②一組數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同；
③一組數(shù)據(jù)a、0、1、2、3，若該組數(shù)據(jù)的平均值為1，則樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2；
④根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為

?

y

=ax+b中，b=2，

.

x

=1，

.

y

=3，則a=1；
⑤如圖是根據(jù)抽樣檢測后得出的產(chǎn)品樣本凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克，并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是90．
其中真命題為（　�。�

• A、①②④
• B、②④⑤
• C、②③④
• D、③④⑤

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,頻率分布直方圖,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),線性回歸方程

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：①利用系統(tǒng)抽樣的特點可求得該次系統(tǒng)抽樣的編號，從而可判斷其正誤；
②利用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的概念，可求得數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，從而可知其正誤；
③依題意，可求得a的值，繼而可得該組數(shù)據(jù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差，從而可知其正誤；
④利用回歸直線過點（

.

x

，

.

y

），即可求得a的值，從而可知其正誤；
⑤設(shè)樣本容量為n，則

36

n

=0.300，可求得n=120，繼而可求得樣本中凈重大于或等于98克，并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)，從而可知該判斷的正誤．

解答： 解：①由系統(tǒng)抽樣的原理知抽樣的間隔為52÷4=13，故抽取的樣本的編號分別為7，7+13，7+13×2，
7+13×3，即7號、20號、33號、46號，①是假命題；
②數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)為

1

6

（1+2+3+3+4+5）=3，中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，都相同，②是真命題；
③由題可知樣本的平均值為1，所以a+0+1+2+3=5，解得a=-1，
故樣本的方差為

1

5

[（-1-1）²+（0-1）²+（1-1）²+（2-1）²+（3-1）²]=2，標(biāo)準(zhǔn)差為

2

，③是假命題；
④回歸直線方程為y=ax+2的直線過點（

.

x

，

.

y

），把（1，3）代入回歸直線方程y=ax+2得a=1．④是真命題；
⑤產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為（0.050+0.100）×2=0.300，設(shè)樣本容量為n，則

36

n

=0.300，
則n=120，凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為（0.100+0.150+0.125）×2=0.75，
故樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是120×0.75=90．⑤是真命題．
綜上所述，真命題為：②④⑤，
故選：B．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查頻率分布直方圖、線性回歸方程、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念，考查理解與運算能力，屬于中檔題．