Question

下列命題中的真命題是（　�。�

• A、?x∈R，使得sinxcosx=

  3

  5

• B、?x∈（-∞，0），2^x＞1
• C、?x∈R，x²≥x-1
• D、?x∈（0，π），sinx＞cosx

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：A．利用倍角公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可得sinxcosx=

1

2

sin2x≤

1

2

＜

3

5

，即可判斷出；
B．利用指數(shù)函數(shù)y=2^x在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（-∞，0），可得2^x＜2⁰=1，即可判斷出；
C．?x∈R，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得：x²-（x-1）=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

＞0，即可得出；
D．舉反例：x=

π

6

，sin

π

6

=

1

2

＜

3

2

=cos

π

6

即可判斷出．

解答： 解：A．∵sinxcosx=

1

2

sin2x≤

1

2

＜

3

5

，因此不存在x∈R，使得sinxcosx=

3

5

成立；
B．∵指數(shù)函數(shù)y=2^x在R上單調(diào)遞增，若x∈（-∞，0），則2^x＜2⁰=1，因此不存在x∈（-∞，0），
使得2^x＞1成立，因此不正確；
C．?x∈R，則x²-（x-1）=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

＞0，因此C正確；
D．?x∈（0，π），sinx＞cosx，不成立．例如x=

π

6

，sin

π

6

=

1

2

＜

3

2

=cos

π

6

．因此不正確．
綜上可知：只有C正確．
故選：C．

點評：本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性及其倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．