Question

【題目】若函數(shù)f(x)滿足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1).

(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并判斷其奇偶性和單調(diào)性；

(2)當(dāng)x∈(－∞，2)時(shí)，f(x)－4的值恒為負(fù)數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析．（2）[2－，1)∪(1,2＋]．

【解析】　試題分析：（1）利用換元法求函數(shù)解析式，注意換元時(shí)元的范圍，再根據(jù)奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性（2）不等式恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題：即f(x)最大值小于4，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最大值，自在解不等式可得a的取值范圍．

試題解析：

(1)令logax＝t(t∈R)，則x＝at，

∴f(t)＝ (at－a－t)．

∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．

∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．

當(dāng)a＞1時(shí)，y＝ax為增函數(shù)，y＝－a－x為增函數(shù)，且＞0，

∴f(x)為增函數(shù)．

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝ax為減函數(shù)，y＝－a－x為減函數(shù)，且＜0，

∴f(x)為增函數(shù)．∴f(x)在R上為增函數(shù)．

(2)∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴y＝f(x)－4也是R上的增函數(shù)．

由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒為負(fù)數(shù)，

只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4.

∴ ()≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，

∴2－≤a≤2＋.又a≠1，

∴a的取值范圍為[2－，1)∪(1,2＋]．